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Journal of Modern Dynamics (JMD)
 

Équidistribution, comptage et approximation par irrationnels quadratiques

Pages: 1 - 40, Issue 1, January 2012      doi:10.3934/jmd.2012.6.1

 
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Jouni Parkkonen - Department of Mathematics and Statistics, P. O. Box 35, 40014 University of Jyväskylä, Finland (email)
Frédéric Paulin - DMA, UMR 8553 CNRS, Ecole Normale Supérieure, 45 rue d’Ulm, 75230 PARIS Cedex 05, France (email)

Abstract: Soit $M$ une variété hyperbolique de volume fini, nous montrons que les hypersurfaces équidistantes à une sous-variété $C$ de volume fini totalement géodésique s'équidistribuent dans $M$. Nous donnons une asymptotique précise du nombre de segments géodésiques de longueur au plus $t$, perpendiculaires communs à $C$ et au bord d'un voisinage cuspidal de $M$. Nous en déduisons des résultats sur le comptage d'irrationnels quadratiques sur $\mathbb{Q}$ ou sur une extension quadratique imaginaire de $\mathbb{Q}$, dans des orbites données des sous-groupes de congruence des groupes modulaires.

Let $M$ be a finite volume hyperbolic manifold. We show the equidistribution in $M$ of the equidistant hypersurfaces to a finite volume totally geodesic submanifold $C$. We prove a precise asymptotic formula on the number of geodesic arcs of lengths at most $t$, that are perpendicular to $C$ and to the boundary of a cuspidal neighbourhood of $M$. We deduce from it counting results of quadratic irrationals over $\mathbb{Q}$ or over imaginary quadratic extensions of $\mathbb{Q}$, in given orbits of congruence subgroups of the modular groups.

Keywords:  Equidistribution, counting, quadratic irrational, hyperbolic manifold, binary quadratic form, perpendicular geodesic.
Mathematics Subject Classification:  37A45, 11R11, 53A35, 22F30, 20H10, 11H06, 53C40, 11E16.

Received: April 2011;      Available Online: May 2012.

 References